기하공간벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

평행한 두 평면 사이 거리

문제

(a,b,c)( a , b , c )를 구 x2+y2+z2=4{x} ^{2} + {y} ^{2} + {z} ^{2} = 4 위의 한 점의 좌표라고 할 때, 두 평면 ax+by+cz=1ax + by + cz = 1, ax+by+cz=3ax + by + cz = 3 사이의 최단거리는? [2점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤113\displaystyle \frac{11}{3}

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②

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해설

점 (a,b,c)\left( a , b , c \right)가 구 x2+y2+x2=4x ^{2} + y ^{2} + x ^{2} = 4 위에 있으므로 a2+b2+c2=4a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 4 한편, 두 평면 ax+by+cz=1,ax+by+cz=3ax + by + cz = 1 , ax + by + cz = 3은 서로 평행하므로 이 두 평면 사이의 최단거리 dd는 평면 ax+by+cz=3a x + b y + c z = 3 위의 한 점 (1a,1b,1c)\displaystyle \left( \frac{1}{a} , \frac{1}{b} , \frac{1}{c} \right)로부터 평면 ax+by+cz−1=0a x + b y + c z - 1 = 0에 이르는 거리와 같다. 따라서 d=∣a⋅1a+b⋅1b+c⋅1c−1∣a2+b2+c2=24=1\displaystyle \begin{aligned} d = \frac{\left| a \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} + c \cdot \frac{1}{c} - 1 \right|}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}} & = \frac{2}{\sqrt{4}} = 1 \end{aligned}

태그

#평면의 방정식#점과 평면 사이 거리

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