평행한 벡터와 사각형 넓이

[출제의도] 평면벡터의 연산의 성질을 이해하여 사각형의 넓이를 구한다. 선분 $\mathrm{BD}$를 $2 : 3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{E}$라 하면 $\displaystyle {\vec{\mathrm{AE}}} = \frac{3 {\vec{\mathrm{AB}}} + 2 {\vec{\mathrm{AD}}}}{5}$ 조건 (나)에서 $t \mathrm{\vec{AC}}$$= 3 \mathrm{\vec{AB}} + 2 \mathrm{\vec{AD}} = 5 {\vec{\mathrm{AE}}}$ 를 만족시키는 실수 $t$가 존재하므로 점 $\mathrm{E}$는 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 점이다. 조건 (가)에서 두 벡터 ${\vec{\mathrm{AD}}}$, ${\vec{\mathrm{BC}}}$가 서로 평행하고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BE}} : \overline{\mathrm{ED}} = 2 : 3$ 이므로 두 삼각형 $\mathrm{EDA}$, $\mathrm{EBC}$는 서로 닮음이고 닮음비는 $3 : 2$이다. $\left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| : \left| {\vec{\mathrm{BC}}} \right| = 3 : 2$에서 $\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{BC}}} \right| = \frac{\mathit{2}}{3} \left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right|$ $\cdots \cdots$ ㉠

사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$의 높이를 $h$로 놓으면 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이가 $12$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| \times \mathit{h}$$= 12$, $\left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| \times \mathit{h} = 24$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| + \left| {\vec{\mathrm{BC}}} \right| \right) \times \mathit{h}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| + \frac{2}{3} \left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| \right) \times \mathit{h}$ $\displaystyle = \frac{5}{6} \times \left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| \times \mathit{h}$$\displaystyle = \frac{5}{6} \times 24$ $= 20$