미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

평균생산비와 한계생산비

문제

어떤 제품의 생산량이 $x$ 일 때 생산비를 $f ( x )$ 라고 하자. 이때, $\displaystyle \frac{f ( x )}{x}$ 를 평균생산비라 하고, $\mathrm{AC}$ 로 나타낸다. 또, $f ( x )$ 가 미분가능하면 $f' ( x )$ 를 생산량이 $x$ 일 때의 한계생산비라 하고 $\mathrm{MC}$ 로 나타낸다. 평균생산비 $\displaystyle \frac{\mathrm{AC} = \mathit{f ( x )}}{x}$ 의 그래프가 위 그림과 같고 $x = q$ 에서 극소값을 가질 때, $x = q$ 근방에서 한계생산비 $\mathrm{MC} = \mathit{f}' ( x )$ 의 그래프의 개형은? [3점]

①

②

③

④

⑤

주관식 문항 (25～30)

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④

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해설

곡선 $AC$ 를 $g ( x )$ 라 하면 $\left( g' ( q ) = 0 \right)$ $\displaystyle \frac{f ( x )}{x} = g ( x ) , f ( x ) = x \cdot g ( x ) ,$ $f' ( x ) = g ( x ) + x \cdot g' ( x )$ ① $f' ( q ) = g ( q ) + q \cdot g' ( q ) = g ( q ) + 0 = g ( q )$ ② $p > q$ 라 하면 $f' ( p ) = g ( p ) + p \cdot g' ( p ) > g ( p ) ( \because p \cdot g' ( p ) > 0 )$ 따라서, 보기의 ④번 형태의 그림이 된다.

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