평균값 정리 수열

함수 $f ( x ) = x ^{3} - 3 x$에 대하여 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 3$이므로 구간 $[ 0 , a _{n} ]$에서의 평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점의 $x$좌표를 $x = a _{n+1}$이라 하면 $\displaystyle \frac{a _{n} ^{3} - 3 a _{n}}{a _{n}} = 3 a _{n + 1} ^{2} - 3$ $\displaystyle a _{n+1} = \frac{1}{\sqrt{3}} a _{n} ( \because a _{n} > 0 )$이므로 $\displaystyle a _{n} = a _{1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^{n-1}$ ㄱ. 구간 $( - 1 , 1 )$에서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 3 < 0$이므로 함수 $y = f ( x )$는 감소한다. 따라서 $0 < a _{n+1} < a _{n} < 1$를 만족하는 $a _{n}$에 대하여 $f ( a _{n} ) < f ( a _{n+1} )$ ㄴ. $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 3$에서 $f' ( a _{n} ) =$$3 a _{n} ^{2} - 3$ $f' ( a _{n+1} ) =$$3 a _{n + 1} ^{2} - 3 = a _{n} ^{2} - 3$이므로 $f' ( a _{n} ) - f' ( a _{n+1} ) = 2 a _{n} ^{2} > 0$ $\therefore f' ( a _{n} ) > f' ( a _{n+1} )$ ㄷ. $\displaystyle a _{n} = a _{1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^{n-1}$에서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} f' ( a _{n} ) = f' ( 0 ) = - 3$ 그러므로 옳은 것은 ㄴ과 ㄷ이다.