평균변화율과 미분계수

[출제의도] 평균변화율과 미분계수를 구할 수 있는가? 함수 $f \left( x \right)$$= x ^{3} - 6 x ^{2} + 5 x$에서 $x$의 값이 $0$에서 $4$까지 변할 때의 평균변화율은 $\displaystyle \frac{f \left( 4 \right) - f \left( 0 \right)}{4 - 0}$$\displaystyle = \frac{64 - 96 + 20}{4}$$= \mathit{-} 3$ 또한, $f' \left( x \right)$$= 3 x ^{2} - 12 x + 5$이므로 $3 a ^{2} - 12 a + 5$$= \mathit{-} 3$, $3 a ^{2} - 12 a + 8$$= 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ ㉠을 만족시키는 모든 실수 $a$는 $0 < a < 4$를 만족시키므로 모든 실수 $a$의 값의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle \frac{8}{3}$이다. 따라서 $p$$= 3$, $q$$= 8$이므로 $p + q$$= 11$