미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

평균변화율과 미분계수

문제

함수 f(x)f \left( x \right)=x3+ax= x ^{3} + ax에서 xx의 값이 11에서 33까지 변할 때의 평균변화율이 f′(a)f' \left( a \right)의 값과 같게 되도록 하는 양수 aa에 대하여 3a23 a ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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13

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해설

[출제의도] 미분계수 이해하기 f′(x)f' \left( x \right)=3x2+a= 3 x ^{2} + a xx의 값이 11에서 33까지 변할 때의 함수 f(x)f \left( x \right)의 평균변화율이 f′(a)f' \left( a \right)의 값과 같으므로 f(3)−f(1)3−1\displaystyle \frac{f \left( 3 \right) - f \left( 1 \right)}{3 - 1}=f′(a)= f' \left( a \right) 33+3a−(13+a)2\displaystyle \frac{3 ^{3} + 3 a - \left( 1 ^{3} + a \right)}{2}=3a2+a= 3 a ^{2} + a 따라서 3a23 a ^{2}=13= 13

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#평균변화율#미분계수

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