미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

평균변화율과 접선 기울기

문제

함수 f(x)f \left( x \right)=x3−3x= x ^{3} - 3 x에서 xx의 값이 11에서 44까지 변할 때의 평균변화율과 곡선 yy=f(x)= f \left( x \right) 위의 점 (k,f(k))\left( k , f \left( k \right) \right)에서의 접선의 기울기가 서로 같을 때, 양수 kk의 값은? [3점] ①3\displaystyle \sqrt{3}②22③5\displaystyle \sqrt{5}④6\displaystyle \sqrt{6}⑤7\displaystyle \sqrt{7}

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해설

[출제의도] 미분계수 이해하기 함수 f(x)=x3−3xf ( x ) = x ^{3} - 3 x에서 xx의 값이 11에서 44까지 변할 때의 평균변화율은 f(4)−f(1)4−1\displaystyle \frac{f ( 4 ) - f ( 1 )}{4 - 1}=(64−12)−(1−3)3\displaystyle = \frac{( 64 - 12 ) - ( 1 - 3 )}{3}=18= 18 곡선 y=f(x)y = f ( x )위의 점 (k,f(k))( k , f ( k ) )에서의 접선의 기울기는 f′(k)=3k2−3f' ( k ) = 3 k ^{2} - 3이므로 3k2−3=18,k2=73 k ^{2} - 3 = 18 , k ^{2} = 7 k>0k > 0이므로 k=7\displaystyle k = \sqrt{7}

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#평균변화율#미분계수

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