미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

평균변화율과 구분구적법

문제

F′(x)=f(x)F' ( x ) = f ( x )인 이차함수 y=f(x)y = f ( x )와 임의의 두 실수 a,ca , c에 대하여 서로 다른 두 점 A(a,F(a)){\mathrm{A}} ( a , F ( a ) ), B(a+c,F(a+c)){\mathrm{B}} ( a + c , F ( a + c ) )를 지나는 직선의 기울기와 같은 값을 갖는 것은? [3점] ①lim⁡n→∞∑k=1nf(k2n)cn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( \frac{k}{2 n} \right) \frac{c}{n}②lim⁡n→∞∑k=1nf(a+ckn)1n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( a + \frac{ck}{n} \right) \frac{1}{n}}③lim⁡n→∞∑k=1nf(a+c+kn)1n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( a + c + \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n}}④lim⁡n→∞∑k=0n−1f(c+akn)12n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 0} ^{n - 1} f \left( c + \frac{ak}{n} \right) \frac{1}{2 n}}⑤lim⁡n→∞∑k=0n−1f(a+kn)2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 0} ^{n - 1} f \left( a + \frac{k}{n} \right) \frac{2}{n}}

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②

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해설

F′(x)=f(x)F' ( x ) = f ( x )이므로 ∫f(x)dx=F(x)+C\displaystyle \int _{} ^{} {f ( x ) dx = F ( x ) + C}이다. 따라서 A(a,F(a))\mathrm{A} \mathit{(} a , F ( a ) ), B(a+c,F(a+c))\mathrm{B} \mathit{(} a + c , F ( a + c ) )를 지나는 직선의 기울기는 F(a+c)−F(a)(a+c)−a=1c{F(a+c)−F(a)}\displaystyle \frac{F ( a + c ) - F ( a )}{( a + c ) - a} = \frac{1}{c} \left\{ F ( a + c ) - F ( a ) \right\} =1c∫aa+cf(x)dx\displaystyle = \frac{1}{c} \int _{a} ^{a + c} {f ( x ) dx}=1clim⁡n→∞∑k=1nf(a+ckn)cn\displaystyle = \frac{1}{c} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( a + \frac{ck}{n} \right) \frac{c}{n} \right.} =lim⁡n→∞∑k=1nf(a+ckn)1n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( a + \frac{ck}{n} \right) \frac{1}{n} \right.}

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#구분구적법#평균변화율

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