평균변화율 보기

$f \left( 0 \right) = a$이므로 양수 $t$에 대하여 $\displaystyle g \left( t \right) = \frac{f \left( t \right) - f \left( 0 \right)}{t - 0} = \frac{f \left( t \right) - a}{t}$ 이고, 함수 $g \left( t \right)$의 값은 두 점 $\left( 0 , a \right)$, $\left( t , f \left( t \right) \right)$를 지나는 직선의 기울기와 같다. ㄱ. $a = 1$일 때 $\displaystyle g \left( 1 \right) = \frac{f \left( 1 \right) - 1}{1} = - 1$ (참) ㄴ. (ⅰ) $a \geq 1$일 때

모든 양수 $t$에 대하여 $f \left( t \right) \leq a$이므로 $\displaystyle g \left( t \right) = \frac{f \left( t \right) - a}{t} \leq 0$ 그러므로 함수 $g \left( t \right)$의 최댓값은 $\mathrm{1}$이 될 수 없다. (ⅱ) $- 1 < a < 1$일 때

함수 $g \left( t \right)$는 $t = 2$일 때 최댓값을 갖는다. $\displaystyle g \left( 2 \right) = \frac{f \left( 2 \right) - a}{2} = \frac{1 - a}{2} < 1$ 그러므로 함수 $g \left( t \right)$의 최댓값은 $\mathrm{1}$보다 작다. (ⅲ) $a \leq - 1$일 때

함수 $g \left( t \right)$는 $t = 1$일 때 최댓값을 갖는다. $\displaystyle g \left( 1 \right) = \frac{f \left( 1 \right) - a}{1} = - a$ 함수 $g \left( t \right)$의 최댓값이 $\mathrm{1}$이기 위해서는 $a = - 1$ 이때 $\displaystyle g \left( 2 \right) = \frac{f \left( 2 \right) - a}{2} = \frac{1 - \left( - 1 \right)}{2} = 1$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 함수 $g \left( t \right)$의 최댓값이 $\mathrm{1}$일 때, $g \left( 2 \right) = 1$ (거짓) ㄷ. $0 < k < 2$인 $k$에 대하여 두 점 $\left( 0 , a \right)$, $\left( k , f \left( k \right) \right)$를 지나는 직선을 $l$이라 하자. $g \left( k \right) = g \left( k + 1 \right) = g \left( k + 2 \right)$인 양수 $k \left( 0 < k < 2 \right)$가 존재하기 위해서는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $l$의 교점 중 $\left( 0 , a \right)$가 아닌 점이 $\mathrm{3}$개이어야 하고, 이 세 교점의 $x$좌표는 $k$, $k + 1$, $k + 2$이어야 한다. (ⅰ) $a > 0$일 때

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $l$의 교점 중 $x$좌표가 양수인 점은 $\left( k , f \left( k \right) \right)$뿐이므로 $g \left( k \right) = g \left( k + 1 \right) = g \left( k + 2 \right)$인 $k$가 존재하지 않는다. (ⅱ) $a = 0$일 때

$0 < k < 1$일 때, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $l$의 교점 중 $x$좌표가 양수인 점은 $\left( k , f \left( k \right) \right)$뿐이므로 $g \left( k \right) = g \left( k + 1 \right) = g \left( k + 2 \right)$인 $k$가 존재하지 않는다. $1 \leq k < 2$일 때, 직선 $l$의 기울기가 $\mathrm{0}$이므로 $g \left( k \right) = 0$ 이때 $\displaystyle g \left( k + 1 \right) = \frac{1 - 0}{\left( k + 1 \right) - 0} = \frac{1}{k + 1} > 0$이므로 $g \left( k \right) \neq g \left( k + 1 \right)$ 그러므로 $g \left( k \right) = g \left( k + 1 \right) = g \left( k + 2 \right)$인 $k$가 존재하지 않는다. (ⅲ) $a < 0$일 때

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $l$의 교점 중 $\left( 0 , a \right)$가 아닌 점이 $\mathrm{3}$개이기 위해서는 $0 < k < 1$이고 $f \left( k + 1 \right) = 0$, $f \left( k + 2 \right) = 1$이어야 한다. $\displaystyle \frac{1 - 0}{\left( k + 2 \right) - \left( k + 1 \right)} = 1$이므로 직선 $l$의 기울기는 $\mathrm{1}$ 직선 $l$ 위의 두 점 $\left( k , f \left( k \right) \right)$, $\left( k + 1 , 0 \right)$에 대하여 $\displaystyle \frac{0 - f \left( k \right)}{\left( k + 1 \right) - k} = 1$에서 $f \left( k \right) = - 1$ 즉, $\left( k - 1 \right) \left( k - a \right) = - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 직선 $l$ 위의 두 점 $\left( 0 , a \right)$, $\left( k , f \left( k \right) \right)$에 대하여 $\displaystyle \frac{f \left( k \right) - a}{k - 0} = \frac{- 1 - a}{k} = 1$에서 $a = - k - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $\left( k - 1 \right) \left( 2 k + 1 \right) = - 1$, $2 k ^{2} - k = 0$ $0 < k < 1$이므로 $\displaystyle k = \frac{1}{2}$, $\displaystyle a = - \frac{3}{2}$ 그러므로 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \left( x - 1 \right) \left( x + \frac{3}{2} \right) & & \left( x < 1 \right) \\ 0 & & \left( 1 \leq x < 2 \right) \\ 1 & & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}}$ 이때 $\displaystyle \left( x - 1 \right) \left( x + \frac{3}{2} \right)$$\displaystyle = x ^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ $\displaystyle = \left( x + \frac{1}{4} \right) ^{2} - \frac{25}{16} \geq - \frac{25}{16}$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 최솟값 $\displaystyle - \frac{25}{16}$가 $\displaystyle - \frac{3}{2}$보다 작으므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = - \frac{3}{2}$은 서로 다른 두 점에서 만난다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ