평균 같고 분산 작은 조건

[출제의도] 주어진 자료에서 평균과 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다. 모둠 2의 학생들이 읽은 책의 권수의 평균은 $\displaystyle \frac{6 + 6 + 3 + 1}{4} = 4$이고 분산은 $\displaystyle \frac{( 6 - 4 ) ^{2} + ( 6 - 4 ) ^{2} + ( 3 - 4 ) ^{2} + ( 1 - 4 ) ^{2}}{4}$$\displaystyle = \frac{4 + 4 + 1 + 9}{4} = \frac{9}{2}$ 한편, 모둠 1의 학생들이 읽은 책의 권수의 평균이 모둠 2의 학생들이 읽은 책의 권수의 평균과 같으므로 $\displaystyle \frac{7 + x + y + 2}{4} = 4$ ∴ $x + y = 7$ … ㉠ 모둠 1의 학생들이 읽은 책의 권수의 분산이 $\displaystyle \frac{9}{2}$보다 작으므로 $\displaystyle \frac{( 7 - 4 ) ^{2} + ( x - 4 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} + ( 2 - 4 ) ^{2}}{4} < \frac{9}{2}$ ∴${( x - 4 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2}} < 5$ … ㉡ ㉠, ㉡을 모두 만족하는 정수 $x , y$는 $x = 3$, $y = 4$ 또는 $x = 4$, $y = 3$ 따라서 $xy = 12$이다.