평균·분산과 이차함수 최소

$a _{1}$, $a _{2}$, $\cdots$, $a _{10}$의 평균을 $m$, 분산을 $\sigma ^{2}$이라 하면 $\displaystyle m = \frac{a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{10}}{10} = 8$, $\displaystyle \sigma ^{2} = \frac{( a _{1} - m ) ^{2} + ( a _{2} - m ) ^{2} + \cdots + ( a _{10} - m ) ^{2}}{10} = 9$ $\left. f ( x ) = 10 x ^{2} - 2 ( a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{10} ) x + ( a _{1} ^{2} + a _{2} ^{2} + \cdots + a _{10} ^{2} ) \right.$ 따라서 $\displaystyle x = \frac{a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{10}}{10} = m$일 때, 함수 $f ( x )$는 최소값 ${( a _{1} - m ) ^{2} + ( a _{2} - m ) ^{2} + \cdots + ( a _{10} - m ) ^{2}}$을 갖는다. $\therefore p = 8$이고, $\displaystyle \sigma ^{2} = \frac{q}{10} = 9$에서 $q = 90$ $\therefore p + q = 98$