편차제곱 합 함수

ㄱ. $S ( a ) = 0$이면 ${\mathrm{V}} ( X ) = 0$이다. $\therefore$참 ㄴ. (반례) $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{n} x _{i} p _{i} = m$라 할 때, $S ( m - 1 ) = S ( m + 1 )$ $\therefore$거짓 ㄷ. $S ( a )$는 $a$가 $X$의 평균일 때, 최솟값을 갖는다. 확률변수 $X$의 평균 $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{n} x _{i} p _{i} = m$이라 하면 $\displaystyle S ( a ) = \sum\limits _{i = 1} ^{n} ( x _{i} - a ) ^{2} p _{i}$ $\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{n} \left\{ ( x _{i} - m ) + ( m - a ) \right\} ^{2} p _{i}$ $\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{n} \left\{ ( x _{i} - m ) ^{2} + 2 ( x _{i} - m ) ( m - a ) \right.$$+ ( m - a ) ^{2} \} p _{i}$ $\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{n} \left\{ ( x _{i} - m ) ^{2} + ( m - a ) ^{2} \right\} p _{i}$ (∵$\displaystyle ( m - a ) \sum\limits _{i = 1} ^{n} ( x _{i} - m ) p _{i} = 0$이므로) $S ( a )$는 $a = m$일 때, 최솟값 $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{n} ( x _{i} - m ) ^{2} p _{i}$를 갖는다. $\therefore$참