기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

포물선의 초점을 지나는 직선

문제

그림과 같이 포물선 $y ^{2} = 12 x$ 의 초점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 직선과 포물선이 만나는 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 에서 준선 $l$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 4$ 일 때, 선분 $\mathrm{BD}$ 의 길이는? [3점]

① $12$ ② $\displaystyle \frac{25}{2}$ ③ $13$ ④ $\displaystyle \frac{27}{2}$ ⑤ $14$

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①

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해설

포물선 $y ^{2} = 12 x$ 에서 초점 $F$ 의 좌표는 $F ( 3 , 0 )$ 이고, $F ( 3 , 0 )$ 을 지나는 직선은 $y = a ( x - 3 ) ( a \text{는} \text{상수} )$ 한편, 준선은 $x = - 3$ 이고, $\displaystyle \overline{AC} = 4$ 이므로, 점 $A$ 의 $x$ 좌표는 1이다. 점 $\displaystyle A ( 1 , \sqrt{12} )$ 가 직선 $y = a ( x - 3 )$ 위의 점이므로 $\displaystyle \sqrt{12} = - 2 a , a = - \sqrt{3}$ $\displaystyle \therefore y = - \sqrt{3} ( x - 3 )$ 직선 $\displaystyle y = - \sqrt{3} ( x - 3 )$ 과 포물선 $y ^{2} = 12 x$ 를 연립하면 $\displaystyle \left\{ - \sqrt{3} ( x - 3 ) \right\} ^{2} = 12 x$ $x ^{2} - 10 x + 9 = 0$ $( x - 1 ) ( x - 9 ) = 0$ 즉, 점 $B$ 의 $x$ 좌표는 9이다. 따라서, 선분 $BD$ 의 길이는 $9 + 3 = 12$ 이다

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