포물선의 초점을 지나는 현

포물선 $\displaystyle y ^{2} = \frac{x}{n}$의 초점은 $\displaystyle \mathrm{F} \left( \frac{\mathit{1}}{4 n} , 0 \right)$이다. 세 점 $\mathrm{P} , F , Q$에서 준선 $\displaystyle x = - \frac{1}{4 n}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P}' , F' , Q'$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{FF}}' = \frac{1}{\mathit{2} n}$이고, 포물선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{PP}}' = 1 , \overline{QQ}' = \mathit{a} _{n}$ $\displaystyle \frac{1}{2 n} = \frac{1 \cdot a _{n} + 1 \cdot a _{n}}{1 + a _{n}}$, $\displaystyle \frac{1}{2 n} = \frac{2 a _{n}}{1 + a _{n}}$ $4 na _{n} = 1 + a _{n}$, $a _{n} ( 4 n - 1 ) = 1$ $\displaystyle \therefore a _{n} = \frac{1}{4 n - 1}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{a _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} ( 4 n - 1 ) = 4 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} - 10 = 210$

[다른 풀이]

$\mathrm{P}$에서 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H} _{1}$ $\mathrm{Q}$에서 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H} _{2}$, $\mathrm{Q}$에서 $\mathrm{PH} _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$, $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{S}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 1 = \overline{PH _{1}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{FS}} = 1 - \frac{1}{2 n}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{QF}} = a _{n} = \overline{\mathrm{QH} _{2}}$ $\mathrm{\triangle} PQR \backsim \triangle FPS$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} : \overline{PR} = \overline{FP} : \overline{FS}$이고 $\displaystyle ( 1 + a _{n} ) : ( 1 - a _{n} ) = 1 : \left( 1 - \frac{1}{2 n} \right)$ $\displaystyle 1 - a _{n} = \left( 1 - \frac{1}{2 n} \right) \left( 1 + a _{n} \right)$$\displaystyle = 1 - \frac{1}{2 n} + \left( 1 - \frac{1}{2 n} \right) a _{n}$ $\displaystyle \frac{1}{2 n} = \left( 2 - \frac{1}{2 n} \right) a _{n}$ $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{4 n - 1}$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{a _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} ( 4 n - 1 ) = 4 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} - 10$ $= 220 - 10 = 210$