포물선과 원점 지나는 직선

[출제의도] 포물선의 성질을 이해하여 선분의 길이를 구하는 문제를 해결한다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AH}}$이고 포물선의 축이 $x$축이므로 이 포물선의 준선은 $y$축이다. 포물선의 꼭짓점의 좌표가 $\left( 1 , 0 \right)$이고 초점과 꼭짓점 사이의 거리가 $1$이므로 포물선의 방정식은 $y ^{2} = 4 \left( x - 1 \right)$ 점 $\mathrm{B}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}'$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} : \mathrm{\overline{BH'}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{OH}} : \mathrm{\overline{OH'}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AF}} : \mathrm{\overline{BF}}$$= 1 : 4$ 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( a , b \right)$($a > 0$, $b > 0$)으로 놓으면 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( 4 a , 4 b \right)$이다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 포물선 $y ^{2} = 4 \left( x - 1 \right)$ 위의 점이므로 $b ^{2} = 4 \left( a - 1 \right)$, $16 b ^{2} = 4 \left( 4 a - 1 \right)$ $16 \times 4 \left( a - 1 \right) = 4 \left( 4 a - 1 \right)$, $12 a = 15$, $\displaystyle a = \frac{5}{4}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \mathit{a} = \frac{5}{4}$