포물선과 타원

[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 거리의 합이 최소가 되는 점을 구할 수 있고 타원의 정의를 이용하여 조건을 만족시키는 점의 $y$좌표를 구할 수 있는가 포물선 $\left( y - 2 \right) ^{2} = 8 \left( x + 2 \right)$는 포물선 $y ^{2} = 8 x$를 $x$축의 방향으로 $- 2$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 $y ^{2} = 8 x$의 초점이 점 $\left( 2 , 0 \right)$, 준선이 직선 $x = \mathit{-} 2$이므로 포물선 $\left( y - 2 \right) ^{2} = 8 \left( x + 2 \right)$의 초점은 점 $\mathrm{A} \left( 0 , 2 \right)$, 준선은 직선 $x = \mathit{-} 4$이다. 점 $\mathrm{P}$에서 준선 $x = \mathit{-} 4$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 준선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} + \mathrm{\overline{PA}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{OP}} + \mathrm{\overline{PH}}$$\displaystyle {\geq} \mathrm{\overline{OB}}$ 이 값이 최소가 되는 점 $\mathrm{P} _{0}$은 포물선 $\left( y - 2 \right) ^{2} = 8 \left( x + 2 \right)$와 $x$축이 만나는 점이다.

이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} + \mathrm{\overline{QA}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{OP _{0}}} + \mathrm{\overline{P _{0} A}}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP _{0}}} + \mathrm{\overline{P _{0} A}} = \mathrm{\overline{OB}} = 4$ 이므로 ㉠은 $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} + \mathrm{\overline{QA}} = 4$ 그러므로 점 $\mathrm{Q}$는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{O}$를 초점으로 하고 거리의 합이 $4$인 타원 위의 점이다. 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표가 가장 큰 점은 이 타원이 $y$축의 양의 방향과 만나는 점이므로 이 점을 ${\mathrm{Q} _{1}} \left( 0 , a \right)$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ _{1}}} + \mathrm{\overline{Q _{1} A}} = 4$ 에서 $a + \left( a - 2 \right) = 4$ $a = 3$ 또, 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표가 가장 작은 점은 이 타원이 $y$축의 음의 방향과 만나는 점이므로 이 점을 $\mathrm{Q} _{2} \left( 0 , \mathit{b} \right)$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ _{2}}} + \mathrm{\overline{Q _{2} A}} = 4$에서 $\left( 0 - b \right) + \left( 2 - b \right) = 4$ $b = \mathit{-} 1$ 따라서 $M = 3$, $m = \mathit{-} 1$이므로 $M ^{2} + m ^{2}$$= 3 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2} = 10$