미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)포물선과 직선 현의 극한광고 영역 (상세 상단)문제그림과 같이 모든 자연수 nnn에 대하여 곡선 y=x2y = x ^{2}y=x2과 직선 y=2x+ny = 2 x + ny=2x+n이 만나는 두 점을 각각 An,\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n}}} ,An,Bn{ B} _{n}Bn이라 하자. 선분 AnBn{\mathrm{A}} _{n} { B} _{n}AnBn의 길이를 ana _{n}an이라 할 때, limn→∞5n+1an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\sqrt{5 n + 1}}{a _{n}}n→∞liman5n+1의 값은? [3점]①14\displaystyle \frac{1}{4}41②13\displaystyle \frac{1}{3}31③12\displaystyle \frac{1}{2}21④222⑤444정답 보기③자료 내려받기아직 올라온 파일이 없습니다.해설An(α,2α+n),Bn(β,2β+n){\mathrm{A}} _{n} ( \alpha , 2 \alpha + n ) , {\mathrm{B}} _{n} ( \beta , 2 \beta + n )An(α,2α+n),Bn(β,2β+n)이라 두면 α\alphaα와 β\betaβ는 방정식 x2=2x+nx ^{2} = 2 x + nx2=2x+n의 두 근이다. an=(β−α)2+(2β−2α)2=5(β−α)2\displaystyle a _{n} = \sqrt{( \beta - \alpha ) ^{2} + ( 2 \beta - 2 \alpha ) ^{2}} = \sqrt{5 ( \beta - \alpha ) ^{2}}an=(β−α)2+(2β−2α)2=5(β−α)2이다. 여기서, α+β=2,αβ=−n\alpha + \beta = 2 , \alpha \beta = - nα+β=2,αβ=−n이고 (β−α)2=(α+β)2−4αβ( \beta - \alpha ) ^{2} = ( \alpha + \beta ) ^{2} - 4 \alpha \beta(β−α)2=(α+β)2−4αβ이다. ∴(β−α)2=4−4⋅(−n)=4n+4\therefore ( \beta - \alpha ) ^{2} = 4 - 4 \cdot ( - n ) = 4 n + 4∴(β−α)2=4−4⋅(−n)=4n+4 ∴limn→∞5n+1an=limn→∞5n+15(4n+4)=14=12\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty {\frac{\sqrt{5 n + 1}}{a _{n}} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {\frac{\sqrt{5 n + 1}}{\sqrt{5 ( 4 n + 4 )}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}}}}∴n→∞an5n+1=n→∞lim5(4n+4)5n+1=41=21lim태그#근과 계수의 관계#수열의 극한비슷한 문제 더 보기미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 수열의 극한 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음광고 영역 (해설 하단)← 전체 문제 목록으로
