포물선과 초점을 지나는 직선

점 $\mathrm{A}$$\displaystyle \left( a , \sqrt{8 a} \right)$라 하면 점 $\mathrm{B}$$\displaystyle \left( - 2 , \sqrt{8 a} \right)$다. 직선 $\mathrm{BF}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{\sqrt{8 a}}{4} \left( x - 2 \right)$, $\displaystyle y = - \sqrt{\frac{a}{2}} \left( x - 2 \right)$ 포물선 $y ^{2} = 8 x$와 직선 $\displaystyle y = - \sqrt{\frac{a}{2}} \left( x - 2 \right)$의 교점의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{a}{2} \left( x - 2 \right) ^{2} = 8 x$, $ax ^{2} - 4 \left( a + 4 \right) x + 4 a = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표를 $\alpha$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \overline{CD}$이므로 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표는 $2 \alpha + 2$이다. 따라서 이차방정식 ㉠의 두 근이 $\alpha$, $2 \alpha + 2$이므로 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle 3 \alpha + 2 = \frac{4 \left( a + 4 \right)}{a}$, $\alpha \left( 2 \alpha + 2 \right) = 4$ $\alpha \left( 2 \alpha + 2 \right) = 4$에서 $\left( \alpha + 2 \right) \left( \alpha - 1 \right) = 0$ $\alpha > 0$이므로 $\alpha = 1$ $\displaystyle 3 \alpha + 2 = \frac{4 \left( a + 4 \right)}{a}$에서 $a = 16$ 따라서 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 좌표는 $\mathrm{A}$$\displaystyle \left( 16 , 8 \sqrt{2} \right)$, $\mathrm{B}$$\displaystyle \left( - 2 , 8 \sqrt{2} \right)$, $\mathrm{D}$$\displaystyle \left( 4 , - 4 \sqrt{2} \right)$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이는 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABD} = \frac{1}{2} \times 18 \times 12 \sqrt{2} = 108 \sqrt{2}$