포물선 위 중심 원의 접선

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계를 활용하여 문제해결하기 반지름의 길이가 $r$이고 중심이 이차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{7}{2}$의 그래프 위에 있는 원 중에서 직선 $y = x + 7$에 접하는 원의 개수 $m$은 반지름 $r$의 길이에 따라 다음과 같은 세 가지 경우가 있다. (ⅰ) $m = 2$일 때,

$y = x + 7$ $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{7}{2}$

(ⅱ) $m = 3$일 때,

$y = x + 7$ $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{7}{2}$

(ⅲ) $m = 4$일 때,

$y = x + 7$ $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{7}{2}$

이 중 $m$이 홀수인 경우는 $m = 3$일 때이므로 직선 $y = x + 7$에 접하는 원 중 직선 $y = x + 7$의 아래쪽에 위치한 원이 한 개일 때이다.

$y = x + 7$ $y = x + k$ $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{7}{2}$

이 원을 $C _{1}$이라 하면 원 $C _{1}$의 반지름의 길이 $r$는 이차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{7}{2}$의 그래프에 접하고 기울기가 $1$인 직선과 직선 $y = x + 7$ 사이의 거리와 같다. 이차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{7}{2}$의 그래프에 접하고 기울기가 $1$인 직선을 $y = x + k$라 하면 이차방정식 $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{7}{2} = x + k$가 중근을 가져야하므로 $x ^{2} - 2 x + 7 - 2 k = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = 2 ^{2} - 4 \times 1 \times \left( 7 - 2 k \right) = 0$에서 $k = 3$ 두 직선 $y = x + 7$과 $y = x + 3$ 사이의 거리는 직선 $y = x + 3$ 위의 점 $\left( 0 , 3 \right)$과 직선 $y = x + 7$ 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| - 3 + 7 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = 2 \sqrt{2}$ $\therefore$ $\displaystyle r = 2 \sqrt{2}$ 직선 $y = x$와 직선 $y = x + 3$ 사이의 거리는 직선 $y = x$ 위의 점 $\left( 0 , 0 \right)$과 직선 $y = x + 3$ 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| 3 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle r = 2 \sqrt{2} > \frac{3 \sqrt{2}}{2}$이므로 $n = 2$

$y = x + 3$ $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{7}{2}$

따라서 $\displaystyle m + n + r ^{2} = 3 + 2 + \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} = 13$