공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선 위 중심 원

문제

이차함수 $y = x ^{2}$ 의 그래프 위의 점을 중심으로 하고 $y$ 축에 접하는 원 중에서 직선 $\displaystyle y = \sqrt{3} x - 2$ 와 접하는 원은 $2$ 개이다. 두 원의 반지름의 길이를 각각 $a , b$ 라 할 때, $100 a b$ 의 값을 구하시오. [4점]

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200

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[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 활용한 수학 내적 문제 해결하기 원의 중심의 좌표는 $\left( n , n ^{2} \right)$ , 반지름의 길이는 $\left| n \right|$ 이다. 중심에서 직선 $\displaystyle y = \sqrt{3} x - 2$ 까지의 거리가 반지름의 길이와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| n ^{2} - \sqrt{3} n + 2 \right|}{\sqrt{1 + 3}} = \left| n \right|$ $\displaystyle n ^{2} - \sqrt{3} n + 2 = \pm 2 n$ 에서 실근을 갖는 이차방정식은 $\displaystyle n ^{2} - \left( 2 + \sqrt{3} \right) n + 2 = 0$ 두 근이 $a , b$ 이므로 $ab = 2$ 따라서 $100 ab = 200$

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