포물선 위 직사각형 넓이

[출제의도] 평면도형과 이차함수의 성질을 이용하여 사각형의 넓이를 구한다. 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표를 $k$$( k > 0 )$라 하면, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $k$이고 $y$좌표는 $ak ^{2}$이다. 따라서 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 가로의 길이는 $2 k$, 세로의 길이는 $ak ^{2}$이므로 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 둘레의 길이는 $2 ( ak ^{2} + 2 k )$ 이다. 조건에 의해 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$이고 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 둘레의 길이는 $4$이므로 $\displaystyle 2 \left( \frac{3}{2} k ^{2} + 2 k \right) = 4$ $3 k ^{2} + 4 k = 4$ $3 k ^{2} + 4 k - 4 = 0$ 인수분해하면 $( 3 k - 2 ) ( k + 2 ) = 0$ $\displaystyle k = \frac{2}{3}$ 또는 $k = - 2$ $k > 0$이므로 $\displaystyle k = \frac{2}{3}$ 따라서 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이는 $2 k \times ak ^{2}$$\displaystyle = \left( 2 \times \frac{2}{3} \right) \times \left\{ \frac{3}{2} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \right\}$$\displaystyle = \frac{8}{9}$