포물선 위 정사각형

정사각형 ${\mathrm{ACDB}}$의 한 변의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 t$이다. 점 ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{D}}$의 $y$좌표가 $t ^{2} + 2 t$이면 $S _{1} : S _{2} = 5 : 1$을 만족하지 않으므로 ${\mathrm{C}} \left( - t , t ^{2} - 2 t \right)$, ${\mathrm{D}} \left( t , t ^{2} - 2 t \right)$라 하자. $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 2 t \times t ^{2} = t ^{3}$ (ⅰ) $0 < t < 2$인 경우 $\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \times 2 t \times \left( - t ^{2} + 2 t \right) = - t ^{3} + 2 t ^{2}$ $S _{1} : S _{2} = 5 : 1$이므로 $t ^{3} = 5 \left( - t ^{3} + 2 t ^{2} \right)$, $t ^{2} \left( 3 t - 5 \right) = 0$, $\displaystyle t = \frac{5}{3}$ (ⅱ) $t > 2$인 경우 $\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \times 2 t \times \left( t ^{2} - 2 t \right) = t ^{3} - 2 t ^{2}$ $S _{1} : S _{2} = 5 : 1$이므로 $t ^{3} = 5 \left( t ^{3} - 2 t ^{2} \right)$, $t ^{2} \left( 2 t - 5 \right) = 0$, $\displaystyle t = \frac{5}{2}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 실수 $t$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{5}{2} + \frac{5}{3} = \frac{25}{6}$