포물선 위 점열의 극한

직선 $\mathrm{P} _{0} P _{1}$의 기울기가 1이므로 직선 $\mathrm{P} _{1} P _{2}$의 기울기는 -1이다. 점 $\mathrm{P} _{1} ( 1 , 1 )$을 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 $y - 1 = - ( x - 1 )$ 즉, $y = - x + 2$이므로 점 $\mathrm{P} _{2}$의 좌표를 구하면 $x ^{2} = - x + 2$에서 $x ^{2} + x - 2 = 0$, $( x + 2 ) ( x - 1 ) = 0$ $x < 0$이므로 $x = - 2$ ∴ $\mathrm{P} _{2} ( - 2 , 4 )$ 점 $\mathrm{P} _{2} ( - 2 , 4 )$를 지나고 기울기가 $1$인 직선의 방정식은 $y - 4 = x + 2$ 즉, $y = x + 6$이므로 점 $\mathrm{P} _{3}$의 좌표를 구하면 $x ^{2} = x + 6$에서 $x ^{2} - x - 6 = 0$, $( x + 2 ) ( x - 3 ) = 0$ $x > 0$이므로 $x = 3$ ∴ $\mathrm{P} _{3} ( 3 , 9 )$ 점 $\mathrm{P} _{3} ( 3 , 9 )$를 지나고 기울기가 $- 1$인 직선의 방정식은 $y - 9 = - ( x - 3 )$ 즉, $y = - x + 12$이므로 점 $\mathrm{P} _{4}$의 좌표를 구하면 $x ^{2} = - x + 12$에서 $x ^{2} + x - 12 = 0$, $( x + 4 ) ( x - 3 ) = 0$ $x < 0$이므로 $x = - 4$ ∴ $\mathrm{P} _{4} ( - 4 , 16 )$ 이와 같은 방법으로 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 좌표를 구하면 $\mathrm{P} _{\mathit{2} m - 1} \mathit{\left( 2 m - 1 , 4 m ^{2} - 4 m + 1 ) \right.}$ $\mathrm{P} _{\mathit{2} m} \mathit{(} - 2 m , 4 m ^{2} )$ $n = 2 m$일 때, $\displaystyle l _{n} = l _{2m} = \overline{\mathrm{P} _{2m-1} P _{2m}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{P} _{2m-1} P _{2m}}$ $\displaystyle = \sqrt{( 4 m - 1 ) ^{2} + ( 4 m - 1 ) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2} ( 4 m - 1 )$ $\displaystyle = \sqrt{2} ( 2 n - 1 )$ $n = 2 m + 1$일 때, $\displaystyle l _{n} = l _{2m+1} = \overline{\mathrm{P} _{2m} P _{2m+1}}$$\displaystyle = \sqrt{( 4 m + 1 ) ^{2} + ( 4 m + 1 ) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{2} ( 4 m + 1 )$$\displaystyle = \sqrt{2} ( 2 n - 1 )$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{l _{n}}{n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2} ( 2 n - 1 )}{n}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$