포물선 위 점과 선분 비 극한

[출제의도] 수열의 극한 문제해결하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{\mathit{n}}}} = \sqrt{\mathit{n} ^{2} + n ^{4}}$ 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , n ^{2} \right)$을 지나고 기울기가 $\displaystyle - \sqrt{3}$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y = - \sqrt{3} x + n ^{2} + \sqrt{3} n$이다. 이 직선이 $x$축과 만나는 점은 $\displaystyle \mathrm{B} _{\mathit{n}} \left( \frac{\mathit{n} ^{2}}{\sqrt{3}} + \mathit{n} , 0 \right)$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OB _{\mathit{n}}}} \frac{= \mathit{n ^{2}}}{\sqrt{3}} + n$ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\mathrm{\overline{OB _{\mathit{n}}}}}{\mathrm{\overline{OA _{\mathit{n}}}}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{n ^{2}}{\sqrt{3}} + n}{\sqrt{n ^{2} + n ^{4}}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{1}{n ^{2}} + 1}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$