포물선 위 다각형 넓이

그림과 같이 곡선 $y = x ^{2}$위의 점 $( - 1 , 1 )$, $( 0 , 0 )$, $( 1 , 1 )$을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 $A \mathit{_{1}}$이라 하자. 곡선 $y = x ^{2}$위의 점 $( - 2 , 4 )$, $( - 1 , 1 )$, $( 0 , 0 )$, $( 1 , 1 )$, $( 2 , 4 )$를 꼭짓점으로 하는 오각형을 $A \mathit{_{2}}$라 하자. 곡선 $y = x ^{2}$위의 점 $( - 3 , 9 )$, $( - 2 , 4 )$, $( - 1 , 1 )$, $( 0 , 0 )$, $( 1 , 1 )$, $( 2 , 4 )$, $( 3 , 9 )$를 꼭짓점으로 하는 칠각형을 $A \mathit{_{3}}$이라 하자. 이와 같은 방법으로 $n$번째 얻은 다각형 $A \mathit{_{n}}$은 곡선 $y = x ^{2}$위의 점 $\left( - n , n ^{2} \right)$, $\left( - n + 1 , ( n - 1 ) ^{2} \right)$, $\cdots$, $( - 1 , 1 )$, $( 0 , 0 )$, $( 1 , 1 )$, $\cdots$, $\left( n - 1 , ( n - 1 ) ^{2} \right)$, $\left( n , n ^{2} \right)$을 꼭짓점으로 하는 다각형이다. 다각형 $A \mathit{_{n}}$의 넓이를 $a _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a \mathit{_{n}}}{n ^{3}}}$의 값은? [4점]

①$2$②$\displaystyle \frac{3}{2}$③$\displaystyle \frac{4}{3}$④$\displaystyle \frac{5}{4}$⑤$\displaystyle \frac{6}{5}$