포물선 선분비 극한

[출제의도] 함수의 극한 문제 해결하기 점 $\mathrm{M}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{t}{2} , \frac{t ^{2}}{2} \right)$이므로 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{t ^{2}}{2}$이다. 점 $\mathrm{B}$는 곡선 $y = x ^{2}$과 직선 $\displaystyle y = \frac{t ^{2}}{2}$의 교점이고, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 방정식 $\displaystyle x ^{2} = \frac{t ^{2}}{2}$의 양의 해이므로 $\displaystyle x = \frac{\sqrt{2}}{2} t$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \frac{= \mathit{\sqrt{2}}}{2} t \times 2 = \sqrt{2} t$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = \mathit{\sqrt{t ^{2} + t ^{4}}} = t \sqrt{1 + t ^{2}}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{{\overline{\mathrm{OP}}}}} = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\sqrt{2} t}{t \sqrt{1 + t ^{2}}} = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 + t ^{2}}} = \sqrt{2}}}$ 이다.