미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선 선분 차 극한

문제

실수 t(t>0)t ( t > 0 )에 대하여 직선 y=x+ty = x + t와 곡선 y=x2y = x ^{2}이 만나는 두 점을 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}라 하자. 점 A{\mathrm{A}}를 지나고 xx축에 평행한 직선이 곡선 y=x2y = x ^{2}과 만나는 점 중 A{\mathrm{A}}가 아닌 점을 C{\mathrm{C}}, 점 B{\mathrm{B}}에서 선분 AC{\mathrm{AC}}에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 하자. lim⁡t→0+AH‾−CH‾t\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{\overline{{\mathrm{AH}}} - \overline{{\mathrm{CH}}}}{t}의 값은? (단, 점 A{\mathrm{A}}의 xx좌표는 양수이다.) [4점] ①1\mathrm{1}②2\mathrm{2}③3\mathrm{3}④4\mathrm{4}⑤5\mathrm{5}

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②

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해설

점 A(α,α2)\mathrm{A} \left( \alpha , \alpha ^{2} \right)이라 할 때, x2=x+t,x2−x−t=0x ^{2} = x + t , x ^{2} - x - t = 0의 두 근을 α,β\alpha , \beta라 하면, AH‾=α−β\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \alpha - \beta, y=x2y = x ^{2}은 yy축 대칭이므로 C(−α,α2)\mathrm{C} ( - \alpha , \alpha ^{2} )이므로 CH‾=β+α\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} = \beta + \alpha lim⁡t→0+AH‾−CH‾t=lim⁡t→0+α−β−(α+β)t=lim⁡t→0+−2βt\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{\mathrm{\overline{AH}} - \overline{CH}}{t} = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{\alpha - \beta - ( \alpha + \beta )}{t} = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} \frac{- 2 \beta}{t} x2−x−t=0x ^{2} - x - t = 0의 작은 실근을 구해보면, β=1−1+4t\displaystyle \beta = {1 - \sqrt{1 + 4 t}}이므로 lim⁡t→0+−2+21+4t2t=lim⁡t→0+1+4t−1t\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 t}}{2 t} = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{\sqrt{1 + 4 t} - 1}{t} =lim⁡t→0+4tt(1+4t+1)=2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{4 t}{t ( \sqrt{1 + 4 t} + 1 )} = 2

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