포물선 삼각형 넓이 급수

[출제의도] 무한급수와 정적분을 활용하여 문제해결하기 점 $\displaystyle \mathrm{D} _{\mathit{k}} \left( 0 , \frac{\mathit{k}}{n} \right)$이므로 직선 $\mathrm{AD} _{\mathit{k}}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{k}{n} x + \frac{k}{n}$ 직선 $\mathrm{AD} _{\mathit{k}}$와 곡선 $y = - x ^{2} + 1$과의 교점 $\mathrm{P} _{\mathit{k}}$는 $\displaystyle \mathrm{P} _{\mathit{k}} \left( \mathit{1} - \frac{k}{n} , \frac{2 k}{n} - \left( \frac{k}{n} \right) ^{2} \right)$이므로 $\triangle \mathrm{AP} _{\mathit{k}} Q _{\mathit{k}}$의 밑변의 길이는 $\displaystyle 2 - \frac{k}{n}$이고 높이는 $\displaystyle \frac{2 k}{n} - \left( \frac{k}{n} \right) ^{2}$ $\therefore$ $\displaystyle S _{k} = \frac{1}{2} \left( 2 - \frac{k}{n} \right) \left\{ \frac{2 k}{n} - \left( \frac{k}{n} \right) ^{2} \right\}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} S _{k}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{2} \left( 2 - \frac{k}{n} \right)} \left\{ \frac{2 k}{n} - \left( \frac{k}{n} \right) ^{2} \right\}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {\frac{1}{2} \left( 2 - x \right) \left( 2 x - x ^{2} \right) dx} = \frac{11}{24}$ 따라서 $\displaystyle \alpha = \frac{11}{24}$이고 $24 \alpha = 11$