포물선 삼각형 넓이

[출제의도] 이차곡선의 성질 이해하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \mathit{a}$라 하면 점 $\mathrm{P}$에서 $\mathrm{F} \left( 2 , 0 \right)$까지의 거리는 점 $\mathrm{P}$에서 준선 $x = - 2$에 이르는 거리와 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} = \mathit{a} - 4$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \mathit{\sqrt{a ^{2} - \left( a - 4 \right) ^{2}}} = \sqrt{8 a - 16} = 2 \sqrt{2 a - 4}$ 삼각형 $\mathrm{PFH}$의 넓이가 $\displaystyle 3 \sqrt{10}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( a - 4 \right) \times 2 \sqrt{2 a - 4} = 3 \sqrt{10}$ $\displaystyle \left( a - 4 \right) \sqrt{a - 2} = 3 \sqrt{5}$ 양변을 제곱하여 정리하면 $\left( a ^{2} - 3 a + 11 \right) \left( a - 7 \right) = 0$ $\therefore$ $a = 7$ 따라서 선분 $\mathrm{PF}$의 길이는 $7$