포물선·직선 교점 개수

직선 $y = x + k$가 이차함수 $y = x ^{2} - 5 x$의 그래프에 접할 때, 방정식 $x ^{2} - 5 x = x + k$가 중근을 가진다. $x ^{2} - 6 x - k = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 9 - \left( - k \right) = 0$, $k = - 9$ 직선 $y = x - 9$는 이차함수 $y = x ^{2} - 5 x$의 그래프와 점 $\left( 3 , - 6 \right)$에서 접한다. (ⅰ) $a \leq 3$인 경우 $m \leq 1$, $n \leq 1$이므로 $m + n \leq 2$

(ⅱ) $3 < a \leq 5$인 경우 직선 $y = x + k$가 $\left( a , a ^{2} - 5 a \right)$를 지날 때 $k = a ^{2} - 6 a$ $- 9 < k < a ^{2} - 6 a$에서 $m = 2$, $n = 1$ 따라서 $m + n = 3$

(ⅲ) $a > 5$인 경우 두 직선 $y = x - 9$와 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$의 교점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{23}{3} , - \frac{4}{3} \right)$이므로 $- 9 < k < a ^{2} - 6 a$인 $k$에 대하여 $\displaystyle a < \frac{23}{3}$이면 $m = 2$, $n = 1$이므로 $m + n = 3$ $\displaystyle a \geq \frac{23}{3}$이면 $m + n = 3$이 되는 $k$가 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle 5 < a < \frac{23}{3}$에서 $m + n = 3$인 실수 $k$가 존재한다.

(ⅰ)$\sim$(ⅲ)에 의하여 모든 $a$의 값의 범위는 $\displaystyle 3 < a < \frac{23}{3}$이다. 따라서 $p \times q = 23$