포물선 접선과 사각형 둘레

[출제의도] 포물선의 접선의 방정식을 이용하여 추론하기 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $k$라 하면 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle ( k , 2 \sqrt{kp} )$이다. 직선 $\mathrm{QR}$는 $x$축과 평행하고 $\mathrm{\angle} PRQ$$\displaystyle = \frac{\pi}{2}$에서 직선 $\mathrm{PR}$는 $y$축과 평행하므로 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{R}$의 $x$좌표는 서로 같고 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 $y$좌표는 서로 같다. 그러므로 두 점 $\mathrm{R}$, $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{R} ( \mathit{k} , - 2 \sqrt{kp} )$, $\displaystyle \mathrm{Q} ( \mathit{-} p , - 2 \sqrt{kp} )$ 포물선 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle 2 \sqrt{kp} y$$= 2 p ( x + k )$, $p$$= 3 k$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}}$$= p + k$$= 4 k$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{RF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FP}}$$= 4 k$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}}$$\displaystyle = 4 \sqrt{kp}$$\displaystyle = 4 \sqrt{3} k$이므로 직각삼각형 $\mathrm{PQR}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2}$$\displaystyle = ( 4 k ) ^{2} + ( 4 \sqrt{3} k ) ^{2}$$= 64 k ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$$= 8 k$ 사각형 $\mathrm{PQRF}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} + \mathrm{\overline{QR}} + \mathrm{\overline{RF}} + \mathrm{\overline{FP}}$$= 8 k + 4 k + 4 k + 4 k$$= 140$, $k$$= 7$ 따라서 $p$$= 3 k$$= 21$