포물선 접선 회전체

포물선 $y ^{2} = 12 x$에 접하고 기울기가 $1$인 접선의 방정식은 $y = x + 3$이므로 $a = 3$ 포물선 $y ^{2} = 12 x$와 직선 $y = x + 3$의 접점의 $x$좌표를 구하면 $( x + 3 ) ^{2} = 12 x$에서 $x ^{2} - 6 x + 9 = 0$, $( x - 3 ) ^{2} = 0$ ∴ $x = 3$ 따라서 구하는 회전체의 부피는 $\displaystyle \pi \int _{0} ^{3} ( x + 3 ) ^{2} dx - \pi \int _{0} ^{3} 12 x dx$$\displaystyle = \pi \int _{0} ^{3} ( x ^{2} - 6 x + 9 ) dx$ $\displaystyle = \pi \left[ \frac{x ^{3}}{3} - 3 x ^{2} + 9 x \right] _{0} ^{3}$$= 9 \pi$ ∴ $b = 9$ ∴ $ab = 3 \cdot 9 = 27$