미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 교점 수열 극한

문제

첫째항이 1212이고 공비가 13\displaystyle \frac{1}{3}인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) b1=1b _{1} = 1 (나) n≥1n \geq 1일 때, bn+1b _{n+1}은 점 Pn(−bn,bn2)P _{n} \left( - b _{n} , b _{n} ^{2} \right)을 지나고 기울기가 ana _{n}인 직선과 곡선 y=x2y = x ^{2}의 교점 중에서 PnP _{n}이 아닌 점의 xx좌표이다.

lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n}의 값을 구하시오. [4점]

정답 보기
1919

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도]계차수열을 이용하여 수열의 극한을 구할 수 있는가? an=12×(13)n−1\displaystyle a _{n} = 12 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 점 PnP _{n}을 지나고 기울기가 ana _{n}인 직선의 방정식은 y−bn2=an(x+bn)y - b _{n} ^{2} = a _{n} ( x + b _{n} ) 즉, y=anx+anbn+bn2y = a _{n} x + a _{n} b _{n} + b _{n} ^{2} 이 직선과 곡선 y=x2y = x ^{2}의 교점의 xx좌표는 방정식 anx+anbn+bn2=x2a _{n} x + a _{n} b _{n} + b _{n} ^{2} = x ^{2} 즉, (x+bn)(x−an−bn)=0( x + b _{n} ) ( x - a _{n} - b _{n} ) = 0의 실근이다. ∴ bn+1=an+bnb _{n+1} = a _{n} + b _{n} (∵bn+1≠−bnb _{n+1} \ne - b _{n}) 이때, bn+1−bn=anb _{n+1} - b _{n} = a _{n}이므로 수열 {bnb _{n}}의 계차수열이 {ana _{n}}이다. ∴ bn=b1+∑k=1n−1ak\displaystyle b _{n} = b _{1} + \sum\limits _{k=1} ^{n-1} a _{k}=1+∑k=1n−1ak\displaystyle = 1 + \sum\limits _{k=1} ^{n-1} a _{k} ∴ lim⁡n→∞bn=1+lim⁡n→∞∑k=1n−1ak\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} = 1 + \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n-1} a _{k} =1+∑k=1∞12(13)k−1\displaystyle = 1 + \sum\limits _{k=1} ^{\infty} 12 \left( \frac{1}{3} \right) ^{k-1}=1+121−13=1+18=19\displaystyle = 1 + \frac{12}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + 18 = 19

태그

#계차수열#등비급수

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로