포물선 초점거리와 합

[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 문제를 해결한다. 포물선 $y ^{2} = 2 x$의 초점은 $\displaystyle \mathrm{F} \left( \frac{1}{2} , 0 \right)$이고 준선은 직선 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{1}{2}$이다. 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$에서 직선 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{1}{2}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H} _{\mathit{n}}$이라 하자.

포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}}} = {\overline{\mathrm{FP} _{\mathit{n}}}} = \mathit{2} n$ 이므로 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 $x$좌표는 $\displaystyle 2 n - \frac{1}{2}$이다. $\displaystyle y ^{2} = 2 \left( 2 n - \frac{1}{2} \right) = 4 n - 1$ 에서 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 $y$좌표는 $\displaystyle \sqrt{4 n - 1}$이다. 따라서 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 2 n - \frac{1}{2} , \sqrt{4 n - 1} \right)$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 2 n - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \left( \sqrt{4 n - 1} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{\left( 4 n ^{2} - 2 n + \frac{1}{4} \right) + \left( 4 n - 1 \right)}$ $\displaystyle = \sqrt{4 n ^{2} + 2 n - \frac{3}{4}}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{\mathit{n} = 1} ^{8} {\overline{\mathrm{OP} _{\mathit{n}}}} ^{2}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{8} \left( 4 n ^{2} + 2 n - \frac{3}{4} \right)$ $\displaystyle = 4 \times \frac{8 \times 9 \times 17}{6} + 2 \times \frac{8 \times 9}{2} - 8 \times \frac{3}{4}$ $= 882$