기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 초점거리의 합

문제

양수 $p$ 에 대하여 좌표평면 위에 초점이 ${\mathrm{F}}$ 인 포물선 $y ^{2} = 4 px$ 가 있다. 이 포물선이 세 직선 $x = p$ , $x = 2 p$ , $x = 3 p$ 와 만나는 제 $\mathrm{1}$ 사분면 위의 점을 각각 ${\mathrm{P}} \mathit{_{1}}$ , ${\mathrm{P}} \mathit{_{2}}$ , ${\mathrm{P}} \mathit{_{3}}$ 이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{FP} \mathit{_{1}}}} + {\overline{\mathrm{FP} \mathit{_{2}}}} + {\overline{\mathrm{FP} \mathit{_{3}}}} = 27$ 일 때, $p$ 의 값은? [3점] ① $\mathrm{2}$ ② $\displaystyle \frac{5}{2}$ ③ $\mathrm{3}$ ④ $\displaystyle \frac{7}{2}$ ⑤ $\mathrm{4}$

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③

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해설

포물선의 준선의 방정식은 $x = - p$ 세 점 $\mathrm{P} _{1}$ , $\mathrm{P} _{2}$ , $\mathrm{P} _{3}$ 에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H} _{1}$ , $\mathrm{H} _{2}$ , $\mathrm{H} _{3}$ 이라 하자.

포물선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{FP}} _{1} + \mathrm{\overline{FP}} _{2} + \mathrm{\overline{FP}} _{3}$ $\displaystyle = \mathrm{\overline{P _{1} H _{1}}} + \mathrm{\overline{P _{2} H _{2}}} + \mathrm{\overline{P _{3} H _{3}}}$ $= 2 p + 3 p + 4 p$ $= 9 p$ 따라서 $9 p = 27$ 에서 $p = 3$

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