기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 초점 원과 넓이

문제

그림과 같이 포물선 y2=4pxy ^{2} = 4 px의 초점 F\mathrm{F}를 중심으로 하고 원점을 지나는 원 CC가 있다. 포물선 위의 점 A\mathrm{A}와 점 B\mathrm{B}에 대하여 선분 FA\mathrm{FA}와 선분 FB\mathrm{FB}가 원 CC와 만나는 점을 각각 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}라 할 때, 점 P\mathrm{P}는 선분 FA\mathrm{FA}의 중점이고, 점 Q\mathrm{Q}는 선분 FB\mathrm{FB}를 2:52 : 5로 내분하는 점이다. 삼각형 AFB\mathrm{AFB}의 넓이가 2424일 때, pp의 값은? (단, 점 A\mathrm{A}와 점 B\mathrm{B}는 제11사분면 위에 있다.) [4점]

①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

[출제의도] 포물선의 성질 이해하기

원의 반지름의 길이가 FP‾=p\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = p이므로 AP‾=p\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = \mathit{p} AF‾=AH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{\mathrm{AH}}}이므로 점 A\mathrm{A}의 xx좌표는 pp FQ‾=p\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = p이므로 BQ‾=52p\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}} = \frac{5}{2} p BF‾=BG‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = {\overline{\mathrm{BG}}}이므로 점 B\mathrm{B}의 xx좌표는 52p\displaystyle \frac{5}{2} p 삼각형 AFB\mathrm{AFB}의 넓이는 12×2p×(52p−p)=24\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 p \times \left( \frac{\mathit{5}}{2} p - p \right) = 24따라서 p=4p = 4

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#포물선의 정의#준선

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