포물선 초점 지나는 직선

포물선의 초점을 ${\mathrm{F}} \left( p , 0 \right)$이라 하자. 이 포물선의 준선은 $x = - p$이다. 점 ${\mathrm{P}}$와 포물선의 준선 사이의 거리가 $20$이고 점 ${\mathrm{P}}$는 포물선 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = 20$ 점 ${\mathrm{P}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하자. 직선 ${\mathrm{FP}}$의 기울기가 $\displaystyle \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} = 3 a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = 4 a \left( a > 0 \right)$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{FH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{PH}}} ^{2}$에서 $20 ^{2} = \left( 3 a \right) ^{2} + \left( 4 a \right) ^{2}$, $25 a ^{2} = 400$, $a = 4$ 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} = 3 a = 3 \times 4 = 12$ 점 ${\mathrm{P}}$와 포물선의 준선 사이의 거리가 점 ${\mathrm{H}}$와 포물선의 준선 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle 2 p + {\overline{\mathrm{FH}}} = 20$, $2 p + 12 = 20$, $p = 4$