포함관계 부분집합 확률

공집합이 아닌 서로 다른 $15$개의 집합에서 임의로 서로 다른 세 부분집합을 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수는 $15 \times 14 \times 13$ 이때, 세 부분집합이 $A$, $B$, $C$로 나열되었을 때, $A \subset B \subset C$를 만족시켜야 하므로 다음 그림과 같고 다음 세 조건을 만족시켜야 한다. $A \neq \phi$이고 $B - A \neq \phi$이고 $C - B \neq \phi$

위에서 $A$, $B - A$, $C - B$를 각각 ㉠, ㉡, ㉢이라 하고 이 부분에 들어갈 원소의 개수로 경우를 나누면 다음과 같다. (ⅰ) ㉡ : $1$개, ㉢ : $1$개 $1$, $2$, $3$, $4$ 중 ㉡과 ㉢에 들어갈 서로 다른 $2$개를 택하는 경우의 수는 $4 \times 3$ 이 각각에 대하여 ㉠에 $2$개가 들어가는 경우의 수는 $1$이고 ㉠에 $1$개가 들어가는 경우의 수는 $2$이므로 경우의 수는 $3$ 그러므로 이 경우의 수는 $4 \times 3 \times 3$ (ⅱ) ㉡ : $1$개, ㉢ : $2$개 $1$, $2$, $3$, $4$ 중 ㉡과 ㉢에 원소를 배정하는 경우의 수는 $4 \times _{3{\mathrm{C}}_{2}} = 4 \times 3$ 나머지 원소 $1$개는 ㉠에 들어가야 하므로 경우의 수는 $4 \times 3 \times 1 = 4 \times 3$ (ⅲ) ㉡ : $2$개, ㉢ : $1$개 (ⅱ)와 같은 방법으로 하면 경우의 수는 $4 \times 3$ 따라서 구하는 사건을 $E$라 하면 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( E ) = \frac{4 \times 3 \times 3 + 4 \times 3 \times 2}{15 \times 14 \times 13}$$\displaystyle = \frac{4 \times 3 \times 5}{15 \times 14 \times 13}$$\displaystyle = \frac{2}{7 \times 13}$$\displaystyle = \frac{2}{91}$ [다른 풀이] $A$, $B - A$, $C - B$를 구성하기 위해 필요한 원소의 개수를 기준으로 나누면 ${}_{4{\mathrm{C}}_{3}} \times 3 ! + _{4{\mathrm{C}}_{4}} \times _{4{\mathrm{C}}_{2}} \times _{2{\mathrm{C}}_{1}} \times 3$$= 4 \times 6 + 6 \times 2 \times 3 = 60$