피타고라스 수의 짝수 조건 귀류법 증명

다음은 자연수 $a$, $b$, $c$에 대하여 명제 “$a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$이면 $a$, $b$ 중 적어도 하나는 짝수이다.”를 귀류법으로 증명한 것이다.

[증명] $a$, $b$가 모두 홀수라고 가정하고 $a = 2 m - 1$, $b = 2 n - 1$ ($m$, $n$은 자연수)이라 하자. $a ^{2} + b ^{2} = ( 2 m - 1 ) ^{2} + ( 2 n - 1 ) ^{2} =$ (가) 이므로 $a ^{2} + b ^{2}$을 $4$로 나눈 나머지는 (나) 이다. 한편 $c$가 짝수이면 $c ^{2}$을 $4$로 나눈 나머지는 $0$이고, $c$가 홀수이면 $c = 2 l - 1$ ($l$은 자연수)에서 $c ^{2} = 4 ( l ^{2} - l ) + 1$이므로 $c ^{2}$을 $4$로 나눈 나머지는 (다) 이다. 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$일 수 없으므로 가정에 모순이다. 그러므로 $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$이면 $a$, $b$ 중 적어도 하나는 짝수이다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 식을 $g ( m , n )$, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$라 할 때, $g ( 2 , 3 ) + p + q$의 값을 구하시오. [4점]