공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

필요조건과 원

문제

두 실수 xx, yy에 대하여 두 조건 pp, qq가 p:3x−4y+5≥0p : 3 x - 4 y + 5 \geq 0 q:x2+(y−a)2≤a2q : x ^{2} + \left( y - a \right) ^{2} \leq a ^{2} 일 때, pp는 qq이기 위한 필요조건이 되도록 하는 양수 aa의 최댓값은? [4점] ①29\displaystyle \frac{2}{9}②13\displaystyle \frac{1}{3}③49\displaystyle \frac{4}{9}④59\displaystyle \frac{5}{9}⑤23\displaystyle \frac{2}{3}

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④

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해설

[출제의도] 필요조건을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 두 조건 pp, qq의 진리집합을 각각 PP, QQ라 하면 pp는 qq이기 위한 필요조건이므로 Q⊂PQ \subset P

3x−4y+5=03 x - 4 y + 5 = 0 x2+(y−a)2=a2x ^{2} + \left( y - a \right) ^{2} = a ^{2} 54\displaystyle \frac{5}{4}

원의 중심 (0,a)\left( 0 , a \right)와 직선 3x−4y+5=03 x - 4 y + 5 = 0사이의 거리가 원의 반지름의 길이인 aa이상이 되어야 하므로 ∣−4a+5∣9+16≥a\displaystyle \frac{\left| - 4 a + 5 \right|}{\sqrt{9 + 16}} \geq a −4a+5>0- 4 a + 5 > 0이므로 식을 정리하면 −4a+5≥5a- 4 a + 5 \geq 5 a 따라서 pp는 qq이기 위한 필요조건이 되기 위한 aa의 최댓값은 59\displaystyle \frac{5}{9}

태그

#필요조건#원과 직선

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