필요조건과 부등식

두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. $q$가 $\sim p$이기 위한 필요조건이므로 $P ^{C} \subset Q$이다. $q : \left| x - 1 \right| \leq 5$에서 $Q = \left\{ x \left| - 4 \leq x \leq 6 \right\} \right.$ $p : \left( x - a \right) \left( x + 2 a \right) > 0$에서 $\sim p : \left( x - a \right) \left( x + 2 a \right) \leq 0$ (ⅰ) $a > 0$인 경우 $P ^{C} = \left\{ x \left| - 2 a \leq x \leq a \right\} \right.$이고 $P ^{C} \subset Q$이므로 $- 4 \leq - 2 a$이고 $a \leq 6$ 따라서 $0 < a \leq 2$이다.

(ⅱ) $a = 0$인 경우 $P ^{C} = \left\{ 0 \right\}$이므로 $P ^{C} \subset Q$가 항상 성립한다. (ⅲ) $a < 0$인 경우 $P ^{C} = \left\{ x \left| a \leq x \leq - 2 a \right\} \right.$이고 $P ^{C} \subset Q$이므로 $- 4 \leq a$이고 $- 2 a \leq 6$ 따라서 $- 3 \leq a < 0$이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 실수 $a$의 값의 범위는 $- 3 \leq a \leq 2$이다. 따라서 $M = 2$이고 $m = - 3$이므로 $M + m = - 1$