공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

필요조건과 방정식

문제

실수 xx에 대한 두 조건 p:(x+1)(x+2)(x−3)=0p : \left( x + 1 \right) \left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right) = 0, q:x2+kx+k−1=0q : x ^{2} + kx + k - 1 = 0 에 대하여 pp가 qq이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 kk의 값의 곱은? [3점] ①−18\mathrm{-} 18②−16\mathrm{-} 16③−14\mathrm{-} 14④−12\mathrm{-} 12⑤−10\mathrm{-} 10

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④

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해설

[출제의도] 필요조건을 이용하여 추론하기 (x+1)(x+2)(x−3)=0\left( x + 1 \right) \left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right) = 0에서 x=−2x = - 2 또는 x=−1x = - 1 또는 x=3x = 3이고, x2+kx+k−1=(x+1)(x+k−1)=0x ^{2} + kx + k - 1 = \left( x + 1 \right) \left( x + k - 1 \right) = 0에서 x=−1x = - 1 또는 x=−k+1x = - k + 1이므로 실수 xx에 대한 두 조건 pp, qq의 진리집합을 각각 PP, QQ라 하면 P={−2,−1,3}P = \left\{ - 2 , - 1 , 3 \right\}, Q={−1,−k+1}Q = \left\{ - 1 , - k + 1 \right\} pp가 qq이기 위한 필요조건이 되려면 Q⊂PQ \subset P−k+1∈Q- k + 1 \in Q에서 −k+1∈P- k + 1 \in P이므로 −k+1=−2- k + 1 = - 2이면 k=3k = 3, −k+1=−1- k + 1 = - 1이면 k=2k = 2, −k+1=3- k + 1 = 3이면 k=−2k = - 2 따라서 모든 정수 kk의 값의 곱은 3×2×(−2)=−123 \times 2 \times \left( - 2 \right) = - 12

태그

#필요조건#진리집합

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