필요조건

[출제의도] 필요조건과 충분조건을 이해한다. 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. $2 x - a {\leq} 0$에서 $\displaystyle x {\leq} \frac{a}{2}$이므로 $\displaystyle P = \left\{ x \left| x \leq \frac{a}{2} \right\} \right.$ 조건 $q : x ^{2} - 5 x + 4 > 0$에 대하여 ${\sim} q : x ^{2} - 5 x + 4 \leq 0$ $x ^{2} - 5 x + 4 {\leq} 0$에서 $\left( x - 1 \right) \left( x - 4 \right) {\leq} 0$ $1 {\leq} x {\leq} 4$ 이므로 $Q ^{C}$$= \left\{ x \left| 1 \leq x \leq 4 \right\} \right.$ $p$가 $\sim q$이기 위한 필요조건이면 명제 ${\sim} q \rightarrow p$가 참이므로 $Q ^{C} {\subset} P$가 성립해야 한다.

위 그림에서 $\displaystyle \frac{a}{2} \geq 4$, $a \geq 8$ 따라서 실수 $a$의 최솟값은 $8$이다.