파스칼 삼각형 합

어두운 부분의 합은 $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{10} \left( {} _{n} C _{n - 2} + _{n} C _{n - 1} + _{n} C _{n} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 2} ^{10} \left( {} _{n} C _{2} + _{n} C _{1} + 1 \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 2} ^{10} \left\{ \frac{n ( n - 1 )}{2} + n + 1 \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 2} ^{10} \left( \frac{1}{2} n ^{2} + \frac{1}{2} n + 1 \right)$ $= 228$ (별해) ${} _{2} C _{0} + _{3} C _{1} + _{4} C _{2} + \cdots + _{10} C _{8} = _{11} C _{8}$ ${} _{1} C _{0} + _{2} C _{1} + _{3} C _{2} + \cdots + _{10} C _{9} = _{11} C _{9}$이므로 ${} _{2} C _{1} + _{3} C _{2} + \cdots + _{10} C _{9} = _{11} C _{9} - _{1} C _{0}$ $1 + _{1} C _{1} + _{2} C _{2} + _{3} C _{3} + \cdots + _{10} C _{0} = _{11} C _{10}$이므로 ${} _{2} C _{2} + _{3} C _{3} + \cdots + _{10} C _{0} = _{11} C _{10} - 1 - _{1} C _{1}$ 따라서 어두운 부분의 합은 $228$