PAP=A 행렬 집합

$\displaystyle P = {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}}$이면 $\displaystyle P ^{2} = {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}} = E$ ㉠ : $S = \left\{ A | A \right.$는 이차정사각행렬이고, $PAP = A \}$ 에서 $A$대신 $P$를 대입하면 $P ^{3} = P ( \because P ^{2} = E )$ $\therefore P \in S$ (참) ㉡ : $A \in S$ 이고 $B \in S$이면 $PAP = A \cdots \text{①}$ $PBP = B \cdots \text{②}$가 된다. $AB \in S$ 이려면 $P ( AB ) P = AB$이어야 한다. $\therefore PA ( PP ) BP = AB ( \because P ^{2} = E )$ (참) (별해) $\displaystyle P = {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}}$이고 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & & b \\ c & & d \end{pmatrix}}$라 하면 $PAP = A$를 만족시키는 행렬 $A$는 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & & b \\ b & & a \end{pmatrix}}$가 된다. $( \because a = d , b = c )$ $A \in S$이고 $B \in S$ 이면 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & & b \\ b & & a \end{pmatrix}}$, $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} p & & q \\ q & & p \end{pmatrix}}$라고 둘 수 있다. $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} ap + bq & & aq + bp \\ aq + bp & & ap + bq \end{pmatrix}}$ $\therefore AB \in S$ ㉢ : $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & & b \\ c & & d \end{pmatrix}}$라 가정하면 $A \in S$이려면 $PAP = A$가 성립하여야 하므로 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & & b \\ c & & d \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a & & b \\ c & & d \end{pmatrix}}$이다. $\displaystyle {\begin{pmatrix} d & & c \\ b & & a \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a & & b \\ c & & d \end{pmatrix}}$ $\therefore a = d , b = c$ $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & & b \\ b & & a \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} a ^{2} + b ^{2} & & 2 ab \\ 2 ab & & a ^{2} + b ^{2} \end{pmatrix}} = O$에서 $a ^{2} + b ^{2} = 0 , 2 ab = 0$ $\therefore a = b = 0$ $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 0 & & 0 \\ 0 & & 0 \end{pmatrix}}$ (참)