판별식과 수열의 극한

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가? 이차방정식 $x ^{2} - \left( n + 1 \right) x + a _{n} = 0$의 판별식을 $D _{1}$이라 하면 $D _{1} = \left( n + 1 \right) ^{2} - 4 a _{n} \geq 0$에서 $\displaystyle a _{n} \leq \frac{\left( n + 1 \right) ^{2}}{4}$ 또 이차방정식 $x ^{2} - nx + a _{n} = 0$의 판별식을 $D _{2}$이라 하면 $D _{2} = n ^{2} - 4 a _{n} < 0$에서 $\displaystyle a _{n} > \frac{n ^{2}}{4}$ 즉 $\displaystyle \frac{n ^{2}}{4} < a _{n} \leq \frac{\left( n + 1 \right) ^{2}}{4}$ $\displaystyle \frac{n ^{2}}{4 n ^{2}} < \frac{a _{n}}{n ^{2}} \leq \frac{\left( n + 1 \right) ^{2}}{4 n ^{2}}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n ^{2}}{4 n ^{2}} < \lim\limits _{n \rightarrow} {} \frac{a _{n}}{n ^{2}} \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( n + 1 \right) ^{2}}{4 n ^{2}}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n ^{2}}{4 n ^{2}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left( n + 1 \right) ^{2}}{4 n ^{2}} = \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{4}$