대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

팩토리얼 합 귀납법 빈칸

문제

다음은 모든 자연수 nn에 대하여 (12+1)⋅1!+(22+1)⋅2!+⋯+(n2+1)⋅n!=n⋅(n+1)!( 1 ^{2} + 1 ) \cdot 1 ! + ( 2 ^{2} + 1 ) \cdot 2 ! + \cdots + ( n ^{2} + 1 ) \cdot n ! = n \cdot ( n + 1 ) ! 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[ 증 명 ]
(1) n=1n = 1일 때, (좌변)=2= 2, (우변)=2= 2이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) n=kn = k일 때 성립한다고 가정하면 (12+1)⋅1!+(22+1)⋅2!+⋯( 1 ^{2} + 1 ) \cdot 1 ! + ( 2 ^{2} + 1 ) \cdot 2 ! + \cdots+(k2+1)⋅k!+ ( k ^{2} + 1 ) \cdot k ! =k⋅(k+1)!= k \cdot ( k + 1 ) ! 이다. n=k+1n = k + 1일 때 성립함을 보이자. (12+1)⋅1!+(22+1)⋅2!+⋯( 1 ^{2} + 1 ) \cdot 1 ! + ( 2 ^{2} + 1 ) \cdot 2 ! + \cdots +(k2+1)⋅k!+{(k+1)2+1}⋅(k+1)!+ ( k ^{2} + 1 ) \cdot k ! + \left\{ ( k + 1 ) ^{2} + 1 \right\} \cdot ( k + 1 ) ! =□(가)+{(k+1)2+1}⋅(k+1)!= \square {\text{(가)}} + \left\{ ( k + 1 ) ^{2} + 1 \right\} \cdot ( k + 1 ) ! =(□(나))⋅(k+1)!= \left( \square {\text{(나)}} \right) \cdot ( k + 1 ) !=(k+1)⋅□(다)= ( k + 1 ) \cdot \square {\text{(다)}} 그러므로 n=k+1n = k + 1일 때도 성립한다. 따라서 모든 자연수 nn에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①k⋅(k+1)!k \cdot ( k + 1 ) ! k2+2k+1k ^{2} + 2 k + 1 (k+1)!( k + 1 ) !②k⋅(k+1)!k \cdot ( k + 1 ) ! k2+3k+2k ^{2} + 3 k + 2 (k+2)!( k + 2 ) !③k⋅(k+1)!k \cdot ( k + 1 ) ! k2+3k+2k ^{2} + 3 k + 2 (k+1)!( k + 1 ) !④(k+1)⋅(k+1)!( k + 1 ) \cdot ( k + 1 ) ! k2+3k+2k ^{2} + 3 k + 2 (k+2)!( k + 2 ) !⑤(k+1)⋅(k+1)!( k + 1 ) \cdot ( k + 1 ) ! k2+2k+1k ^{2} + 2 k + 1 (k+1)!( k + 1 ) !

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②

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해설

k(k+1)!+{□(k+1)2+1}⋅(k+1)!k ( k + 1 ) ! + \left\{ \square {( k + 1 ) ^{2} + 1} \right\} \cdot ( k + 1 ) ! ={k+(k+1)2+1}⋅(k+1)!= \left\{ k + ( k + 1 ) ^{2} + 1 \right\} \cdot ( k + 1 ) ! =□k2+3k+2⋅(k+1)!= \square {k ^{2} + 3 k + 2} \cdot ( k + 1 ) ! =(k+1)(k+2)(k+1)!= ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 1 ) ! =(k+1)□(k+2)!= ( k + 1 ) \square {( k + 2 ) !}

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