기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

외접원과 벡터 분해

문제

그림과 같이 정삼각형 ABCABC에서 선분 BCBC의 중점을 MM이라 하고, 직선 AMAM이 정삼각형 ABCABC의 외접원과 만나는 점 중 AA가 아닌 점을 DD라 하자. AD⃗=mAB⃗+nAC⃗\vec{AD} = m \vec{AB} + n \vec{AC}일 때, m+nm + n의 값은? [3점]

①76\displaystyle \frac{7}{6}②54\displaystyle \frac{5}{4}③43\displaystyle \frac{4}{3}④1712\displaystyle \frac{17}{12}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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③

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해설

세 점 A\mathrm{A}, M\mathrm{M}, D\mathrm{D}는 일직선 위에 있으므로 AD⃗=kAM⃗\mathrm{\vec{AD}} = \mathit{k} \mathrm{\vec{AM}} ∠CAD=30∘\angle \mathrm{CAD} = 30 ^\circ이므로 AC‾=23AM‾=32AD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \overline{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{AD} 따라서 AD‾=43AM‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \frac{4}{3} \overline{AM}에서 k=43\displaystyle k = \frac{4}{3} 또한, AM⃗=12(AB⃗+AC⃗)\displaystyle \mathrm{\vec{AM}} = \frac{1}{2} \left( \vec{AB} + \vec{AC} \right)이므로 AD⃗=43AM⃗=43×12(AB⃗+AC⃗)=23AB⃗+23AC⃗\displaystyle \mathrm{\vec{AD}} = \frac{4}{3} \vec{AM} = \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} \left( \vec{AB} + \vec{AC} \right) = \frac{2}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC} 따라서 m=23\displaystyle m = \frac{2}{3}, n=23\displaystyle n = \frac{2}{3}이므로 m+n=43\displaystyle m + n = \frac{4}{3}

태그

#벡터의 분해#정삼각형

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