외접원 사인법칙 빈칸

$\mathrm{\square} BACQ$는 원 위에 내접하는 사각형이므로 $\mathrm{\angle} BQC = \pi - \theta$ $\mathrm{\angle} BQC$는 $\mathrm{\frown {BC}}$의 원주각이고 $\mathrm{\angle} BOC$는 $\mathrm{\frown {BC}}$의 중심각이므로 $\mathrm{\angle} BOC = 2 \pi - 2 \theta$ $\mathrm{\triangle} BOM \equiv \triangle COM$이므로 $\mathrm{\angle} O' OB = \pi - \theta$이고 $\mathrm{\angle} BO' O = 2 \theta - \pi$이다. (ⅰ)

$\mathrm{\triangle} O' BO$는 이등변삼각형이므로 $\mathrm{\angle} O' BO = \angle O' OB = \pi - \theta$ 점 $\mathrm{O}'$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BO}}$에 수선을 긋고, 수선의 발을 $\mathrm{H}$라고 하면 $\mathrm{\triangle} O' OH$에서 $\displaystyle \cos \left( \pi - \theta \right) = \frac{\frac{R}{2}}{r}$, $\displaystyle - \cos \theta = \frac{\frac{R}{2}}{r}$, $\displaystyle \frac{R}{2} = \mathit{-} r \cos \theta$ $\therefore$ $R = \mathit{-} 2 \cos \theta r$ 따라서 (가)는 $- 2 \cos \theta$ $\cdots \cdots$ ㉠ (ⅱ)

$\mathrm{\triangle} BO' M$에서 $\mathrm{\angle} O' BM + \angle BMO' + \angle MO' B = \pi$ $\displaystyle \mathrm{\angle} O' BM + \frac{\pi}{2} + 2 \theta - \pi = \pi$ $\displaystyle \mathrm{\angle} O' BM = \frac{3}{2} \pi - 2 \theta$ $\mathrm{\triangle} O' BM$에서 $\displaystyle \sin \left( \frac{3}{2} \pi - 2 \theta \right) = \mathit{-} \cos 2 \theta$ 따라서 (나)는 $- \cos 2 \theta$ $\cdots \cdots$ ㉡ (ⅲ) $\mathrm{\triangle} ABC$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BC}}}{\sin \theta} = \frac{\mathrm{\overline{AC}}}{\sin \left( \angle \mathrm{O}' BM \right)}$, $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BC}}}{\mathrm{\overline{AC}}} = \frac{\sin \theta}{1 - 2 \cos ^{2} \theta}$ 따라서 (다)는 $\displaystyle \frac{\sin \theta}{1 - 2 \cos ^{2} \theta}$ $\cdots \cdots$ ㉢ 즉, ㉠, ㉡, ㉢에서 $f \left( \theta \right) = \mathit{-} 2 \cos \theta$, $g \left( \theta \right) = \mathit{-} \cos 2 \theta$, $\displaystyle h \left( \theta \right) = \frac{\sin \theta}{1 - 2 \cos ^{2} \theta}$ 그런데, $\displaystyle \cos \alpha = \mathit{-} \frac{3}{5}$, $\displaystyle \cos \beta = \mathit{-} \frac{\sqrt{10}}{5}$이므로 $\displaystyle f ( \alpha ) + g ( \beta ) + \left\{ h \left( \frac{2}{3} \pi \right) \right\} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{6}{5} + 1 - 2 \times \frac{2}{5} + 3$ $\displaystyle = \frac{22}{5}$ 따라서 $\displaystyle \frac{q}{p} = \frac{22}{5}$에서 $p = 5 , q = 22$이므로 $p + q = 2 + 5 = 27$