대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

외접하는 두 원과 부채꼴 넓이

문제

그림과 같이 △ABC\triangle ABC의 두 꼭짓점 A,B\mathrm{A} , B를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 같은 두 원이 외접한다. ∠B=π3\displaystyle \angle \mathrm{B} = \frac{\pi}{3}, AC‾=26\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 2 \sqrt{6}, CD‾=23\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = 2 \sqrt{3} 일 때, △ABC\triangle \mathrm{A} BC 의 내부의 두 부채꼴 (어두운 부분) 넓이의 합은 kπk \pi이다. 100k100 k의 값을 구하시오. [4점]

π3\displaystyle \frac{\mathrm{\pi}}{3}

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150

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해설

[출제의도] 부채꼴의 넓이 구하기 원의 반지름을 rr라 하자. 점 A\mathrm{A} 에서 변 BC\mathrm{BC}에 수선을 그으면 수선의 발이 점 D\mathrm{D}이다. 이 때, △ABD\triangle \mathrm{ABD} 는 직각삼각형이고 △ACD\triangle \mathrm{ACD}는 직각이등변삼각형이다. 따라서, r=2r = 2이고, ∠C=π4\displaystyle \angle \mathrm{C} = \frac{\pi}{4}, ∠A=5π12\displaystyle \angle \mathrm{A} = \frac{5 \pi}{12}이다. 구하고자 하는 넓이는 12×4×π3+12×4×5π12=3π2\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{5 \pi}{12} = \frac{3 \pi}{2}이다. 그러므로 100k=100×32=150\displaystyle 100 k = 100 \times \frac{3}{2} = 150 이다. [별해] 원의 반지름의 길이를 rr라 하면 △ABC\triangle \mathrm{A} BC에서 코사인법칙에 의하여 (26)2=(2r)2+(r+23)2−2×2r×(r+23)×12\displaystyle ( 2 \sqrt{6} ) ^{2} = ( 2 r ) ^{2} + ( r + 2 \sqrt{3} ) ^{2} - 2 \times 2 r \times ( r + 2 \sqrt{3} ) \times \frac{1}{2} 이 식을 풀면 r=±2r = \pm 2. ∴ r=2r = 2 △ABC\triangle \mathrm{A} BC에서 사인법칙에 의하여 ∠C=π4\displaystyle \angle C = \frac{\pi}{4}이므로 ∠A=5π12\displaystyle \angle A = \frac{5 \pi}{12} 따라서 구하는 넓이는 2π3+5π6\displaystyle \frac{2 \pi}{3} + \frac{5 \pi}{6} = 3π2\displaystyle \frac{3 \pi}{2} ∴ k=32\displaystyle k = \frac{3}{2}이므로 100k=150100 k = 150

태그

#사인법칙#부채꼴 넓이

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